2021年5月の記事一覧

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立方体の上の面の対角線にレールがあり，下の面の対角線（上の面の対角線とは直交）にもレールがあります．下のレールの端（頂点）と上のレールの中点（面の中心）とを結ぶ長さの「線分」があり，この線分（長さを変えない）の両端はレール上をすべることができます．線分が包絡線となり囲む図形（リノイド）の表面の形を推理してください．

立方体の1辺の長さを2aとすると，リノイド体積はいくらですか．

なかなか難しいですが，線分の動きを頭の中でシミュレーションした以下の図が参考になります．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

立方体の1辺の長さを2aとすると，線分KFの長さはa√6です．
図のような，座標系で考えます：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$K(x_{K} , 0, -a), F(0, y_{F} , a), M\left( x, y, z \right)$とします．
$\overrightarrow{KM}(x-x_{K} , y , Z+a), \overrightarrow{FM}(x, y-y_{F} , z-a)$
なので，次の方程式が得られます．
$\displaystyle \frac{x-x_{K } }{x}=\displaystyle \frac{z+a}{z-a}=\displaystyle \frac{y}{y-y_{F } }$
これを解いて，　　$x_{K}=\displaystyle \frac{2ax}{a-z} , y_{F}=\displaystyle \frac{2ay}{a+z}$
一方，　$\left\{ \begin{array}{@{\,} c @{\, } } KF^{2}=x_{K}^{2}+y_{F}^{2}+4a^{2} \\[0mm] KF=a\sqrt{6} \end{array} \right.$ 　⇒　 $x_{F}^{2}+y_{F}^{2}=2a^{2}$　であるので，$x_{F} , y_{F}$を代入して，
$\left( \displaystyle \frac{2ax}{a-z} \right) ^{2}+\left( \displaystyle \frac{2ay}{a+z} \right) ^{2}=2a^{2}$　 ⇒　$\displaystyle \frac{2x^{2 } }{\left( a-z \right) ^{2 } }+\displaystyle \frac{2y^{2 } }{\left( a+z \right) ^{2 } }=1$
このリノイドの水平（すなわち軸Ozに垂直）断面の方程式を得るためには， 
zの値を区間$\left( -a, a \right)$でスライスする． 
この方程式は，半軸に$x=\left( a-z \right) /\sqrt{2}, y=\left( a+z \right) /\sqrt{2}$を持つ楕円の方程式になる．
楕円の面積$S$は，　$S=\pi \cdot \displaystyle \frac{\left( a-z \right) }{\sqrt{2 } } \cdot \displaystyle \frac{\left( a+z \right) }{\sqrt{2 } }=\displaystyle \frac{\pi }{2}\left( a^{2}-z^{2} \right)$
ゆえに，リノイドの体積$V$は，　$V=\displaystyle \frac{\pi }{2}\displaystyle \int_{-a}^{a}\left( a^{2}-z^{2} \right) dz=\displaystyle \frac{2\pi a^{3 } }{3}$