2020年9月の記事一覧

2019.02月号より，文 Юрий Белецкий ＋図 Алексей Вайнер

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

■オデッサ州立フィルハーモニー協会（建築家-A.I.ベルナルダーツィ）
の窓は，円と弧のパターンで装飾されています．
この窓は，すばらしい幾何学問題を提供しています．

白板に描いたように，小さな３つの円の中心$O_{1}，O_{2}，O_{3}$は1つの直線上にのります．証明してください．

 

 

 

 

 

 

 

 

■この問題をみて思い浮かべるのは，以前掲載した以下の2つの記事です．
アポロニウスの窓，アルべロス（靴屋のナイフ）という形のなかに面白い幾何学世界があります．
反転の利用ーパップスの定理
https://note.com/sgk2005/n/n56056054e23c

インドラの網と反転円
https://note.com/sgk2005/n/nec1396b13bd4

アルべロス（下図のオレンジ色の形）の中で，パップスの定理が成立しています．しかし，円$ω_{2}$と円$ω_{1}$の中心を結ぶ線は，水平ではありません．

 

 

 

 

 

 

いま問題になっているオデッサの窓内の円では，$O_{1}，O_{2}$を結ぶ直線は水平になるのですが，その原因は，外側の大きな円（半径$r$）内で重なり合う2つの円（半径$ar$）に接するように，半径$xr$の円を決定することによります．しかる後に，この半径$xr$の円に接するように，半径$yr$の円を描くと，この円の中心は半径$ar$の中心線上に存在するようです．
問題のオデッサの建物図では，$a=2/3$（大きな円の直径を3等分する位置に柱がある）のようですが，実は，同じ半径の円が重なっていれば（任意の$1/2<a<１$）成り立つようです．

 

接する4つの円の半径の間にはデカルトの定理という式が成り立ちますが，それを計算するのは容易ではありません．幾何で解くことにしました．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

円の接する条件を図示すると，辺の長さが，$1-x，1-a，a+y，x+y$の4角形になります．4角形の対角線は，$a+x，1-y$です．この条件は関係する円が接するための条件です．$1-x$の辺が垂直なのは対称性から明らか，半径$yr$の円の中心と，半径$ar$の円の中心を結ぶ$a+y$も垂直として，$x$と$y$を解くと，

 

この$x，y$を用いて，互いに対向する辺の長さを求めると，互いに等しいことが証明でき，矛盾は出ません．

 

従って，この4角形は長方形になり，辺$x＋ｙ$は水平であることがわかります．