正方形の辺の1/nを作る

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数学月間SGK通信 ［2015.04.07］ No.058
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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最近，我々のfacebook数学月間の会
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に，Nishiyama氏から正方形の辺の長さの1/nを作る方法に関する
plusマガジンの以下の記事の紹介がありました．
https://plus.maths.org/content/folding-numbers?nl=0
皆様，正方形の折り紙を用いて試してみてください．
plusマガジンの記事は，下図の中に生じる黄色い２つの３角形が
互いに相似であること，直角3角形である（三平方の定理が成立）こと
https://plus.maths.org/content/sites/plus.maths.org/files/articles/2015/haga/hagak.jpg

を用いて，次の関係式を導びきます．
$y/2＝k/(1+k)$　
この関係式に，$k$の値（位置）として，得られた$y/2$の値（位置）を
代入するたびに，次の$y/2$の値（位置）が求まります．
$k=1/2$　→　$y/2＝1/3$
$k=1/3$　→　$y/2＝1/4$
$k=1/4$　→　$y/2＝1/5$
　　......
このようにして繰り返せば，一辺の長さの$1/n$まで順番に作れます．
正方形の上の辺に$k$の位置をとると，右側の辺に$y/2$に位置が決まります．
このように続けると，$1/2，1/3，1/4，･･･$の位置が正方形の周りを
ぐるぐる周りながら順次現れるのが大変面白いです．
https://plus.maths.org/content/sites/plus.maths.org/files/articles/2015/haga/hagaki.jpg

https://plus.maths.org/content/sites/plus.maths.org/files/articles/2015/haga/hagakj.jpg

さて，紙の形が長方形の場合は如何でしょうか？
手紙を３つ折りにして封筒に入れるときにこのようなことが必要になります．
長方形の辺の1/3を作る方法では，Takakubo氏からの以下の２通りの情報が
寄せられました．以下の図をご覧ください．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/61/16622661/img_1_m?1428237203
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/61/16622661/img_2_m?1428237203
これらは一般の長方形（辺の比が１:√2に限らない）で使えます．