システム管理者
（２）ガロアの登場（19世紀前半）
3次方程式，4次方程式には代数的な解の公式があるが，一般の5次以上の方程式には，代数的な解の公式が作れない．代数的に解を書けるのは運のよい場合である．
（注）解自体がないわけではない．一般に，$${n}$$次方程式には$${n}$$個の複素数の解が存在する（ガウスにより証明された）．
方程式$${x^4-4=0}$$の場合，有理数体$${Q}$$上までなら$${(x^2-2)(x^2+2)=0}$$，拡大体$${Q(\sqrt{2})}$$の上までなら$${(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x^2+2)=0}$$，拡大体$${Q(\sqrt{2},i)}$$の上まで許すなら$${(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2}i)(x+\sqrt{2}i)=0}$$と因数分解できる．つまり，考慮する体の大きさにより，記述できる解の個数が変わる．
方程式の係数の有理数体$${Q}$$からスタートして，ベキ根を加えて体の拡大を繰り返し，すべての解を含む拡大体$${K}$$に到着するなら，拡大体$${K}$$内で代数的な解の公式が存在する．
一般に，有理数体$${Q}$$上の$${n}$$次の多項式方程式（代数方程式）方程式には$${n}$$個の複素数の解が存在する（ガウス）のだが，有限個のベキ根を加えた$${Q}$$の拡大体に虚数$${i}$$を付加して拡大体$${K}$$を作っても複素数体全域のカバーはできので，複素数体に解があると言っても，有限回の代数的操作でその解にたどり着けるとは限らない．
（注）$${Q}$$上の多項式の根になり得る数を代数的といい，$${Q}$$上のいかなる多項式の根にもなり得ない数は超越数という．
根を付加した拡大体において，根の置換群を考え，この置換群の正規部分群の列により拡大体が順次縮小でき単位群$${1}$$に至れば，解の公式が存在するというのがガロア理論の本質にある．正規部分群による縮小（正規部分群を核とする準同型写像）の各段階で定義される剰余群が巡回群であるなら，この正規部分群の列は可解となる．一般的な５次方程式では，解の置換群は位数120の5次の対称群であり，その正規部分群は位数60の交代群である．この交代群は単純群だが，その下に真の正規部分群を含まないので可解ではなく，一般的には代数的解法がない．
例）4次方程式の場合は代数的な解がある：
■結晶群での解釈
これは，結晶群における群の拡大の仕組みを思い起こさせる．
結晶は周期的な構造（デジタル化された構造）を持ち，並進群$${T}$$で記述される構造である．これに，回転対称操作や鏡映対称操作などの結晶点群$${G}$$の対称操作を付加することで，並進群を拡大して結晶空間群$$ {\it \Phi} $$を得ることができる．
逆の表現をすれば，並進群は，結晶空間群の中の正規部分群であるので，並進群を核とする準同型写像により結晶空間群$${\it \Phi}$$は必ず結晶点群$${G}$$に縮小帰着できる．
$${\it \Phi=T\otimes G}$$ $${\it \Phi /T \simeq G}$$
結晶点群$${G}$$の場合，２つの部分群$${G_{1}, G_{2 } }$$（どちらも正規部分群ではない）の半直積で構成される場合があり，準同型写像が成り立たず，その場合はそこから先は結晶点群を縮小することができない．$${G=G_{1}\oslash G_{2 } }$$
注）正規部分群と剰余類
部分群$${H}$$によるラグランジュ展開の任意の左剰余類の積$${g_{i}H\cdot g_{j}H}$$が，ばらけずに丸ごと別の左剰余類$${g_{s}H}$$に対応するならば，左剰余類は群を作る．この条件は$${g_{i}H\cdot g_{j}H=g_{i}g_{j}H}$$となることであり，$${Hg_{j}＝g_{j}H}$$を意味する．
これは$${H}$$が$${\it \Phi}$$の正規部分群であることに他ならない．
（１）に戻る https://note.com/sgk2005/n/n68ac87eb04a6